Image haute résolution sur Gallica AT VI, (388)
LA GEOMETRIE.
LIVRE SECOND.
De la nature des lignes courbes.
Quelles sont les lignes courbes qu’on peut receuoir en Geometrie.Les anciens ont fort bien remarqué, qu’entre les Problesmes de Geometrie, les vns sont plans, les autres solides, et les autres lineaires, c’est à dire, que les vns peuuent estre construits, en ne traçant que des lignes droites, et des cercles ; au lieu que les autres ne le peuuent estre, qu’on n’y employe pour le moins quelque section conique ; ni enfin les autres, qu’on n’y employe quelque autre ligne plus composée. Mais ie m’estonne de ce qu’ils n’ont point outre cela distingué diuers degrés entre ces lignes plus composées, et ie ne sçaurois comprendre pourquoy ils les ont nommées mechaniques, plutost que Geometriques. Car de dire que ç’ait esté, à cause qu’il est besoin de se seruir de quelque machine pour les descrire, il faudroit reietter par mesme raison les cercles et les lignes droites ; vû qu’on ne les descrit sur le papier qu’auec vn compas, et vne reigle, qu’on peut aussy nommer des machines. Ce n’est pas non plus, à cause AT VI, 389
que les instrumens, qui seruent à les tracer, estant plus composés que la reigle et le compas, ne peuuent estre si iustes ; car il faudroit pour cete raison les reietter des Mechaniques, où la iustesse des ouurages qui sortent de la main est desirée ; plutost que de la Geometrie, ou c’est seulement la iustesse du raisonnemẽt qu’on recherche, Maire, p. 316
Image haute résolution sur Gallica et qui peut sans doute estre aussy parfaite touchant ces lignes, que touchant les autres. Ie ne diray pas aussy, que ce soit à cause qu’ils n’ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, et qu’ils se sont contentés qu’on leur accordast, qu’ils pussent ioindre deux poins donnés par vne ligne droite, et descrire vn cercle d’vn centre donné, qui passast par vn point donné. car ils n’ont point fait de scrupule de supposer outre cela, pour traiter des sections coniques, qu’on pust coupper tout cóne donné par vn plan donné. Et il n’est besoin de rien supposer pour traçer toutes les lignes courbes, que ie pretens icy d’introduire ; sinon que deux ou plusieurs lignes puissent estre meuës l’vne par l’autre, et que leurs intersections en marquent d’autres ; ce qui ne me paroist en rien plus difficile. Il est vray qu’ils n’ont pas aussy entierement receu les sections coniques en leur Geometrie, et ie ne veux pas entreprendre de changer les noms qui ont esté approuués par l’vsage ; mais il est, ce me semble, tres clair, que prenant comme on fait pour Geometrique ce qui est precis et exact, et pour Mechanique ce qui ne l’est pas ; et considerant la Geometrie comme vne science, qui enseigne generalement à connoistre les mesures de tous les cors, on n’en doit pas plutost exclure les lignes les plus composées que les AT VI, 390
plus simples, pourvû qu’on les puisse imaginer estre descrites par vn mouuement continu, ou par plusieurs qui s’entresuiuent et dont les derniers soient entierement reglés par ceux qui les precedent. car par ce moyen on peut tousiours auoir vne connoisance exacte de leur mesure. Mais peut estre que ce qui a empesché les anciens Geometres de reçeuoir Maire, p. 317
Image haute résolution sur Gallica celles qui estoient plus composées que les sections coniques, c’est que les premieres qu’ils ont considerées, ayant par hasard esté la Spirale, la Quadratrice, et semblables, qui n’appartienent veritablement qu’aux Mechaniques, et ne sont point du nombre de celles que ie pense deuoir icy estre receues, à cause qu’on les imagine descrites par deux mouuemens separés, et qui n’ont entre eux aucun raport qu’on puisse mesurer exactement, bienqu’ils ayent aprés examiné la Conchoide, la Cissoide, et quelque peu d’autres qui en sont, toutefois à cause qu’ils n’ont peut estre pas assés remarqué leurs proprietés, ils n’en ont pas fait plus d’estat que des premieres. Ou bien c’est que voyant, qu’ils ne connoissoient encore, que peu de choses touchant les sections coniques, et qu’il leur en restoit mesme beaucoup, touchant ce qui se peut faire auec la reigle et le compas, qu’ils ignoroient, ils ont creu ne deuoir point entamer de matiere plus difficile. Mais pource que i’espere que d’orenauant ceux qui auront l’adresse de se seruir du calcul Geometrique icy proposé, ne trouueront pas assés de quoy s’arester touchant les problesmes plans, ou solides ; ie croy qu’il est à propos que ie les inuite à d’autres recherches, où ils ne manqueront iamais d’exercice.
AT VI, 391
Voyés les lignes AB, AD, AF et semblables que ie suppose auoir esté descrites par l’ayde de l’instrument YZ, qui est composé de plusieurs reigles tellement iointes, que celle qui est marquée YZ estant arestée sur la ligne AN, on peut ouurir et fermer l’angle XYZ ; et que lorsqu’il est tout fermé, les poins B, C, D, E, F, G, H sont tous assemblés au point A ; mais qu’a mesure qu’on Maire, p. 318
Image haute résolution sur Gallica 
l’ouure, la reigle BC, qui est iointe à angles droits auec XY au point B, pousse vers Z la reigle CD, qui coule sur YZ en faisant tousiours des angles droits auec elle, et CD pousse DE, qui coule tout de mesme sur YX en demeurant parallele à BC, DE pousse EF, EF pousse FG, cellecy pousse GH. Et on en peut conceuoir vne infinité d’autres, qui se poussent consequutiuement en mesme façon, et dont les vnes facent tousiours les mesmes angles auec YX, et les autres auec YZ. Or pendant AT VI, 392
qu’on ouure ainsi l’angle XYZ, le point B descrit la ligne AB, qui est vn cercle, et les autres poins D, F, H, où se font les intersections des autres reigles, descriuent d’autres lignes courbes AD, AF, AH, dont les dernieres sont par ordre plus cõposés que la premiere, et cellecy plus que le cercle. mais ie ne voy pas ce qui peut empescher, qu’on ne concoiue aussy nettement, et aussy distinctement la description de cete premiere, que du cercle, ou Maire, p. 319
Image haute résolution sur Gallica du moins que des sections coniques ; ny ce qui peut empescher qu’on ne concoiue la seconde, et la troisiesme, et toutes les autres, qu’on peut descrire, aussy bien que la premiere ; ny par consequent qu’on ne les recoiue toutes en mesme façon, pour seruir aux speculations de Geometrie.
La façon de distinguer toutes les lignes courbes en certains genres. Et de connoistre le rapport qu’ont tous leurs poins à ceux des lignes droitesIe pourrois mettre icy plusieurs autres moyens pour tracer et conçeuoir des lignes courbes, qui seroient de plus en plus composées par degrés à l’infini. mais pour comprendre ensemble toutes celles, qui sont en la nature, et les distinguer par ordre en certains genres ; ie ne sçache rien de meilleur que de dire que tous les poins, de celles qu’on peut nommer Geometriques, c’est à dire qui tombent sous quelque mesure precise et exacte, ont necessairement quelque rapport à tous les poins d’vne ligne droite, qui peut estre exprimé par quelque equation, en tous par vne mesme, Et que lorsque cete equation ne monte que iusques au rectangle de deux quantités indeterminées, ou bien au quarré d’vne mesme, la ligne courbe est du premier et plus simple genre, dans lequel il n’y a que le cercle, la parabole, l’hyperbole, et l’Ellipse qui soient comprises. mais que lorsque l’equation monte iusques à AT VI, 393
la trois ou quatriesme dimension des deux, ou de l’vne des deux quantités indeterminées, car il en faut deux pour expliquer icy le rapport d’vn point à vn autre, elle est du second : et que lorsque l’equation monte iusques à la 5 ou sixiesme dimension, elle est du troisiesme ; et ainsi des autres à l’infini.
Comme si ie veux sçauoir de quel genre est la ligne EC, que i’imagine estre descrite par l’intersection de la Maire, p. 320
Image haute résolution sur Gallica 
reigle GL, et du plan rectiligne CNKL, dont le costé KN est indefiniement prolongé vers C, et qui estant meu sur le plan de dessous en ligne droite, c’est à dire en telle sorte que son diametre KL se trouue tousiours appliqué sur quelque endroit de la ligne BA prolongée de part et d’autre, fait mouuoir circulairement cete reigle GL autour du point G, à cause quellequ’elle luy est tellement iointe quellequ’elle passe tousiours par le point L. Ie choisis vne ligne droite, comme AB, pour rapporter à ses diuers poins tous ceux de cete ligne courbe EC, et en cete ligne AB ie choisis vn point, comme A, pour commencer par luy ce calcul. Ie dis que ie choisis et l’vn et l’autre, à cause qu’il est libre de les prendre tels qu’on veult. encore qu’il y ait beaucoup de choix pour rendre l’equation plus courte, et plus aysée ; toutefois en quelle façon qu’on les prene, on peut tousiours faire que la AT VI, 394
ligne paroisse de mesme genre, ainsi qu’il est aysé à demonstrer. Maire, p. 321
Image haute résolution sur Gallica Aprés cela prenant vn point à discretion dans la courbe, comme C, sur lequel ie suppose que l’instrument qui sert à la descrire est appliqué, ie tire de ce point C la ligne CB parallele à GA, et pource que CB et BA sont deux quantités indeterminées et inconnuës, ie les nomme l’vne 
$y$ et l’autre 
$x$. mais affin de trouuer le rapport de l’vne à l’autre ; ie considere aussy les quantités connuës qui determinent la description de cete ligne courbe, comme GA, que ie nomme 
$a$, KL que ie nomme 
$b$, et NL parallele à GA, que ie nomme 
$c$. puis ie dis, comme NL est à LK, ou $c$ à $b$, ainsi CB, ou $y$, est à BK, qui est par consequent 
$\frac{b}{c}\,y$ : et BL est 
$\frac{b}{c}\,y-b$, et AL est 
$x+\frac{b}{c}\,y-b$. de plus, comme CB est à LB, ou $y$ à $\frac{b}{c}\,y-b$, ainsi $a$ ou GA, est à LA, ou $x+\frac{b}{c}\,y-b$. de façon que multipliant Maire, p. 322
Image haute résolution sur Gallica la seconde par la troisiesme on produit 
$\frac{ab}{c}\,y-ab$, qui est esgale à 
$xy+\frac{b}{c}\,yy-by$ qui se produit en multipliant la premiere par la derniere. Et ainsi l’equation qu’il falloit trouuer est 
$yy\ad cy-\frac{cx}{b}\,y+ay-ac$.de laquelle on connoist que la ligne EC est du premier genre, comme en effect elle n’est autre qu’vne Hyperbole.
Que si en l’instrument qui sert à la descrire on fait qu’au lieu de la ligne droite CNK, ce soit cete Hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan CNKL ; l’intersection de cete ligne et de la reigle GL descrira, au lieu de l’Hyperbole EC, AT VI, 395
vne autre ligne courbe, qui sera du second genre. Comme si CNK est vn cercle, dont L soit le centre, on descrira la premiere Conchoide des anciens ; et si c’est vne Parabole dont le diametre soit KB, on descrira la ligne courbe, que i’ay tantost dit estre la premiere, et la plus simple pour la question de 
Image haute résolution sur Gallica vne equation pour déterminer tous ses poins en cete sorte.
Au reste ie mets les lignes courbes qui font monter cete equation iusques au quarré de quarré, au mesme genre que celles qui ne la font monter que iusques au cube. Et celles dont l’equation monte au quarré de cube, au mesme genre que celles dont elle ne monte qu’au sursolide. Et ainsi des autres. Dont la raison est, qu’il y a une reigle generale pour reduire au cube AT VI, 396
toutes les difficultés qui vont au quarré de quarré, et au sursolide toutes celles qui vont au quarré de cube, de façon qu’on ne les doit point estimer plus composées.
Mais il est à remarquer qu’entre les lignes de chasque genre, encore que la plus part soient esgalement composées, en sorte qu’elles peuuent seruir à déterminer les mesmes poins, et construire les mesmes problesmes, il y en a toutefois aussy quelques vnes, qui sont plus simples, et qui n’ont pas tant d’estendue en leur puissance. Comme entre celles du premier genre outre l’Ellipse l’Hyperbole et la Parabole qui sont esgalement composées, le cercle y est aussy compris, qui manifestement est plus simple. Et entre celles du second genre il y a la Conchoide vulgaire, qui a son origine du cercle ; et il y en a encore quelques autres, qui bien qu’elles n’ayent pas tant d’estendue que la plus part de celles du mesme genre, ne peuuent toutefois estre mises dans le premier.
Suite de l’explication de la question de 
Image haute résolution sur Gallica dessus, que lorsqu’il n’y a que trois ou 4 lignes droites données, l’equation qui sert à determiner les poins cherchés, ne monte que iusques au quarré ; il est euident, que la ligne courbe où se trouuent ces poins, est necessairement quelqu’vne de celles du premier genre : à cause que cete mesme equation explique le rapport, qu’ont tous les poins des lignes du premier genre à ceux d’vne ligne droite. Et que lorsqu’il n’y a AT VI, 397
point plus de 8 lignes droites données, cete equation ne monte que iusques au quarré de quarré tout au plus, et que par consequent la ligne cherchée ne peut estre que du second genre, ou au dessous. Et que lorsqu’il n’y a point plus de 12 lignes données, l’equation ne monte que iusques au quarré de cube, et que par consequent la ligne cherchée n’est que du troisiesme genre, ou au dessous. Et ainsi des autres. Et mesme à cause que la position des lignes droites données peut varier en toutes sortes, et par consequent faire chãger tant les quantités connuës, que les signes 
$+$ et 
$-$ de l’equation, en toutes les façons imaginables ; il est euident qu’il n’y a aucune ligne courbe du premier genre, qui ne soit vtile à cete question, quand elle est proposée en 4 lignes droites ; ny aucune du second qui n’y soit vtile, quand elle est proposée en huit ; ny du troisiesme, quand elle est proposée en douze : et ainsi des autres. En sorte qu’il n’y a pas vne ligne courbe qui tombe sous le calcul et puisse estre receüe en Geometrie, qui n’y soit vtile pour quelque nombre de lignes.
Solution de cete question quand elle n’est proposée qu’en 3 ou 4 lignes.Mais il faut icy plus particulierement que ie determine, et donne la façon de trouuer la ligne cherchée, qui sert en chasque cas, lorsqu’il n’y a que 3 ou 4 lignes droites Maire, p. 325
Image haute résolution sur Gallica données ; et on verra par mesme moyen que le premier genre des lignes courbes n’en contient aucunes autres, que les trois sections coniques, et le cercle.
Reprenons les 4 lignes AB, AD, EF, et GH données cy dessus, et qu’il faille trouuer vne autre ligne, en laquelle il se rencontre vne infinité de poins tels que C, duquel ayant tiré les 4 lignes CB, CD, CF, AT VI, 398
et CH, à angles donnés, sur les données, CB multipliée par CF, produist une somme esgale à CD, multipliée par CH. c’est à dire ayant fait CB 
$\!\!\ad y$ , CD 
$\!\!\ad\frac{czy+bcx}{zz}$, CF 
$\!\!\ad\frac{ezy+dek+dex}{zz}$ et CH 
$\!\!\ad\frac{gzy+fg\ell-fgx}{zz}$, l’equatiõ est 
$yy\ad\frac{(-dekzz+cfg\ell z)y+(-dezzx-cfgzx+bcgzx)y+(bcfg\ell x-bcfgxx)}{ezzz-cgzz}$. Maire, p. 326
Image haute résolution sur Gallica au moins en supposant 
$ez$ plus grand que 
$cg$. car s’il estoit moindre, il faudroit changer tous les signes $+$ et $-$. Et si la quantité $y$ se trouuoit nulle, ou moindre que rien en cete equation, lorsqu’on a supposé le point C en l’angle DAG, il faudroit le supposer aussy en l’angle DAE, ou EAR, ou RAG, en AT VI, 399
changeant les lsignes $+$ et $-$ selon qu’il seroit requis à cet effect. Et si en toutes ces 4 positions la valeur d’$y$ se trouuoit nulle, la question seroit impossible au cas proposé. Mais supposons la icy estre possible, et pour en abreger les termes, au lieu des quantités 
$\frac{cfg\ell z-dekzz}{ez^3-cgzz}$ escriuons 
$2m$, et au lieu de 
$\frac{dezz+cfgz-bcgz}{ez^3-cgzz}$ escriuons 
$\frac{2n}{z}$ ; et ainsi nous aurons 
$yy\ad2my-\frac{2n}{z}\,xy+\frac{bcfg\ell x-bcfgxx}{ez^3-cgzz}$, dont la racine est 
$$y\ad m-\frac{nx}{z}+\sqrt{mm-\frac{2mnx}{z}+\frac{nnxx}{zz}+ \frac{bcfg\ell x-bcfgxx}{ez^3-cgzz}}$$. Et derechef pour abreger, au lieu de 
$-\frac{2mn}{z}+\frac{bcfg\ell}{ez^3-cgzz}$, escriuons 
$o$, et au lieu de 
$\frac{nn}{zz}-\frac{bcfg}{ez^3-cgzz}$ escriuons 
$\frac{p}{m}$. car ces quantités estant toutes données, nous les pouuons nommer comme il nous plaist. Et ainsi nous auons 
$$y\ad m-\frac{n}{z}\,x+\sqrt{mm+ox-\frac{p}{m}\,xx}$$, qui doit estre la longeur de la ligne BC, en laissant AB, ou $x$ indeterminée. Maire, p. 327
Image haute résolution sur Gallica Et il est euident que la question n’estant proposée qu’en trois ou quatre lignes, on peut tousiours auoir de tels termes. excepté que quelques vns d’eux peuuent estre nuls, et que les signes $+$ et $-$ peuuent diuersement estre changés.
AT VI, 400
Aprés cela ie fais KI esgale et parallele à BA, en sorte qu’elle couppe de BC la partie BK esgale à 
$m$, à cause qu’il y a icy 
$+m$ ; et ie l’aurois adioustée en tirant cete ligne IK de l’autre costé, s’il auoit eu 
$-m$ ; et ie ne l’aurois point du tout tirée, si la quantité $m$ eut esté nulle. Puis ie tire aussy IL, en sorte que la ligne IK est à KL, comme 
Z$z$ est à 
$n$. c’est à dire que IK estant $x$, KL est 
$\frac{n}{z}\,x$. Et par mesme moyen ie connois aussy la proportion Maire, p. 328
Image haute résolution sur Gallica qui est entre KL, et IL, que ie pose comme entre $n$ et $a$ : si bien que KL estant $\frac{n}{z}\,x$, IL est 
$\frac{a}{z}\,x$ ; Et ie fais que le point K soit entre L et C, à cause qu’il y a icy 
$-\frac{n}{z}\,x$ ; au lieu que i’aurois mis L entre K et C, si i’eusse eu 
$+\frac{n}{z}\,x$ ; et ie n’eusse point tiré cete ligne IL, si $\frac{n}{z}\,x$ eust esté nulle.
Or cela fait, il ne me reste plus pour la ligne LC, que ces termes, LC 
$\ad\sqrt{mm+ox-\frac{p}{m}\,xx}$. d’où ie voy que s’ils estoient nuls, ce point C se trouueroit AT VI, 401
en la ligne droite IL ; et que s’ils estoient tels que la racine s’en pust tirer, c’est à dire que 
$mm$ et 
$\frac{p}{m}\,xx$ estant marqués d’vn mesme signe $+$ ou $-$, 
$oo$ fust esgal à 
$4pm$, ou bien que les termes $mm$ et 
$ox$, ou $ox$ et $\frac{p}{m}\,xx$ fussent nuls, ce point C se trouueroit en vne autre ligne droite qui ne seroit pas plus malaysée à trouuer qu’IL. Mais lorsque cela n’est pas, ce point C est tousiours en l’une des trois sections coniques, ou en vn cercle, dont l’vn des diametres est en la ligne IL, et la ligne LC est l’vne de celles qui s’appliquent par ordre à ce diametre ; ou au contraire LC est parallele au diametre, auquel celle qui est en la ligne IL est appliquée par ordre. À sçavoir si le terme $\frac{p}{m}\,xx$, est nul cete section conique est vne Parabole ; et s’il est marqué du signe $+$, c’est vne Hyperbole ; et enfin s’il est marqué du signe $-$ c’est vne Ellipse. Excepté seulement si la quantité 
$aam$ est esgale à 
$pzz$ et que l’angle ILC soit droit : auquel cas on à vn cercle au lieu Maire, p. 329
Image haute résolution sur Gallica d’vne Ellipse. Que si cete section est vne Parabole, son costé droit est esgal à 
$\frac{oz}{a}$, et son diametre est tousiours en la ligne IL. Et pour trouuer le point N, qui en est le sommet, il faut faire IN esgale à 
$\frac{amm}{oz}$ ; et que le point I soit entre L et N, si les termes sont 
$+mm+ox$ ; ou bien que le point L soit entre I et N, s’ils sont 
$+mm-ox$ ; ou bien il faudroit qu’N fust entre I et L, s’il y auoit 
$-mm+ox$. Mais il ne peut iamais y auoir 
$-mm$, en AT VI, 402
la façon que les termes ont icy esté posés. Et enfin le point N seroit le mesme que le point I si la quantité $mm$ estoit nulle. Au moyen de quoy il est aysé de trouuer cete Parabole par le Ier. Problesme du Ier. liure d’
Maire, p. 330
Image haute résolution sur Gallica Que si la ligne demãdée est vn cercle, ou vne ellipse, ou vne Hyperbole, il faut premierement chercher le point M, qui en est le centre, et qui est tousiours en la ligne droite IL, où on le trouue en prenant 
$\frac{aom}{2pz}$ pour IM. en sorte que si la quantité $o$ est nulle, ce centre est iustement au point I. Et si la ligne cherchée est vn cercle, ou vne Ellipse ; on doit prendre le point M du mesme costé que le point L, au respect du point I, lorsqu’on a 
$+ox$ ; et lorsqu’on a 
$-ox$, on le doit prendre de l’autre. Mais tout au contraire en l’Hyperbole, si on a $-ox$, ce centre M doit estre vers L ; et si on a $+ox$, il doit estre de l’autre costé. Aprés cela le AT VI, 403
costé droit de la figure doit estre 
$\sqrt{\frac{oozz}{aa}+\frac{4mpzz}{aa}}$ lorsqu’on a 
$+mm$, et que la ligne cherchée est vn cercle, ou vne Ellipse ; ou bien lorsqu’on à $-mm$, et que c’est vne Hyperbole. Et il doit estre $\sqrt{\frac{oozz}{aa}-\frac{4mpzz}{aa}}$ si la ligne cherchée estant vn cercle, ou vne Ellipse, on a $-mm$ ; ou bien si estant vne Hyperbole et la quantité $oo$ estant plus grande que $4mp$, on à $+mm$. Que si la quantité $mm$ est nulle, ce costé droit est $\frac{oz}{a}$, et si $ox$ est nulle, il est 
$\sqrt{\frac{4mpzz}{aa}}$. Puis pour le costé traversant, il faut trouuer vne ligne, qui soit à ce costé droit, cõme $aam$ est à $pzz$, à sçauoir si ce costé droit est $\sqrt{\frac{oozz}{aa}+\frac{4mpzz}{aa}}$ le trauersant est 
$\sqrt{\frac{aaoomm}{ppzz}+\frac{4aam^3}{pzz}}$. Et en tous ces cas le diametre de la section est en la ligne IM, et LC est l’vne de celles qui luy est appliquée par ordre. Si bien que faisant MN esgale à la moitié du costé Maire, p. 331
Image haute résolution sur Gallica trauersant et le prenant du mesme costé du point M, qu’est le point L, on a le point N pour le sommet de ce diametre. en suite de quoy il est aysé de trouuer la section par le second et 3 prob. du Ier. Liu. d’
Mais quand cete section estant vne Hyperbole, on a $+mm$ ; et que la quantité $oo$ est nulle ou plus petite que $4pm$, on doit tirer du centre M la ligne MOP parallele à LC, et CP parallele à LM. Et faire MO esgale à 
$\sqrt{mm-\frac{oom}{4p}}$ ; ou bien la faire esgale à $m$ si la quantité $ox$ est nulle. Puis considerer le point O, cõme le sommet de cete Hyperbole ; dont le diametre est OP, et CP la Maire, p. 332
Image haute résolution sur Gallica ligne qui luy est appliquée AT VI, 404
par ordre, et son costé droit est 
$\sqrt{\frac{4a^4m^4}{ppz^4}-\frac{a^4oom^3}{p^3z^4}}$ et son costé trauersãt est 
$\sqrt{4mm-\frac{oom}{p}}$. Excepté quand $ox$ est nulle car alors le costé droit est 
$\frac{2aamm}{pzz}$, et le trauersant est $2\,m$. Et ainsi il est aysé de la trouuer par le 3 prob. du Ier. liu. d’
Demonstration de tout ce qui vient d’estre expliqué.Et les demonstrations de tout cecy sont euidentes. car composant vn espace des quantités que iay assignées pour le coste droit, et le trauersant, et pour le segment du diametre NL, ou OP, suiuãt la teneur de l’11, du 12, et du 13 theoresmes du Ier. liure d’$\frac{aom}{2pz}$, de NM, qui est 
$\frac{am}{2pz}\,\sqrt{oo+4mp}$, iay IN, à laquelle aioustant IL, qui est $\frac{a}{z}\,x$, iay NL, qui est 
$\frac{a}{z}\,x-\frac{aom}{2pz}+\frac{am}{2pz}\,\sqrt{oo+4mp}$, et cecy estant multiplié par 
$\frac{z}{a}\,\sqrt{oo+4mp}$, qui est le costé droit de la figure, il vient 
$x\,\sqrt{oo+4mp}-\frac{om}{2p}\,\sqrt{oo+4mp}+\frac{moo}{2p}+2mm$ : AT VI, 405
pour le rectangle., duquel il faut oster vn espace qui soit au quarré de NL comme le costé droit est au trauersant. Et ce quarré de NL est 
$\frac{aa}{zz}\,xx -\frac{aaom}{pzz}\,x+\frac{aam}{pzz}\,x\,\sqrt{oo+4mp}+\frac{aaoomm}{2ppzz} +\frac{aam^3}{pzz}-\frac{aaomm}{2ppzz}\,\sqrt{oo+4mp}$ Maire, p. 333
Image haute résolution sur Gallica qu’il faut diuiser par $aam$ et multiplier par $pzz$, à cause que ces termes expliquent la proportion qui est entre le costé trauersant et le droit, et il vient 
$\frac{p}{m}\,xx-ox +x\,\sqrt{oo+4mp}+\frac{oom}{2p}-\frac{om}{2p}\,\sqrt{oo+4mp}+mm$. ce qu’il faut oster du rectangle precedent, et on trouue 
$mm+ox-\frac{p}{m}\,xx$ pour le quarré de CL, qui par consequent est vne ligne appliquée par ordre dans vne Ellipse, ou dans vn cercle, au segment du diametre NL.
Et si on venut expliquer toutes les quantités données par nombres, en faisant par exemple EA
$\!\!\ad3$, AG 
$\!\!\ad5$ AB
$\!\!\ad\!\!$ BR, BS 
$\!\!\ad\frac{1}{2}$ BE, GB$\!\!\ad\!\!$ BT, CD 
$\!\!\ad\frac{3}{2}$ CR, CF 
$\!\!\ad2$ CS, CH 
$\!\!\ad\frac{2}{3}$ CT, et que l’angle ABR soit de 60 degrés ; et enfin que le rectangle des deux CB, et CF, soit esgal au rectangle des deux autres CD et CH ; car il faut auoir toutes ces choses affin que la question soit entierement determinée. Et auec cela supposant AB 
$\ad x$, et CB $\!\!\ad y$, on trouue par la façon cy dessus expliquée 
$yy\ad2y-xy+5x-xx$ et 
$y\ad1-\frac{1}{2}\,x+\sqrt{1+4x-\frac{3}{4}\,xx}$ : si bien que BK doit estre 
$1$, et KL doit estre la moitié de KI, et pource que l’angle IKL ou ABR est de AT VI, 406
60 degrés, et KIL qui est la moitié de KIB ou IKL, de 30, ILK est droit. Et pource que IK ou AB est nomme $x$, KL est 
$\frac{1}{2}\,x$, et IL est 
$x\,\sqrt{\frac{3}{4}}$, et la quantité qui estoit tantost nommée 
$z$ est $1$, celle qui estoit $a$ est 
$\sqrt{\frac{3}{4}}$, celle qui estoit $m$ est $1$, celle qui estoit $o$ est 
$4$, et celle qui estoit 
$p$ est 
$\frac{3}{4}$, de façon qu’on à 
$\sqrt{\frac{16}{3}}$ Maire, p. 334
Image haute résolution sur Gallica pour IM, et 
$\sqrt{\frac{19}{3}}$ pour NM, et pource que $aam$ qui est $\frac{3}{4}$ est icy esgal à $pzz$ et que l’angle ILC est droit, on trouue que la ligne courbe NC est vn cercle. Et on peut facilement examiner tous les autres cas en mesme sorte.
Quels sont les lieux plans, et solides : et la facon de les trouuer.Au reste à cause que les equations, qui ne montent que iusques au quarré, sont toutes comprises en ce que ie viens d’expliquer ; non seulement le problesme des anciens en 3 et 4 lignes est icy entierement acheué ; mais aussy tout ce qui appartient à ce qu’ils nommoient la composition des lieux solides ; et par consequent aussy à celle des lieux plans, à cause qu’ils sont compris dans les solides. Car ces lieux ne sont autre AT VI, 407
chose, sinon que lors qu’il est question de trouuer quelque point auquel il Maire, p. 335
Image haute résolution sur Gallica manque vne condition pour estre entierement determiné, ainsi qu’il arriue en cete exemple, tous les poins d’vne mesme ligne peuuent estre pris pour celuy qui est demandé. Et si cete ligne est droite, ou circulaire, on la nomme vn lieu plan. Mais si c’est vne parabole, ou vne hyperbole, ou vne ellipse, on la nomme vn lieu solide. Et toutefois et quantes que cela est, on peut venir à vne Equation qui contient deux quantités inconnuës, et est pareille à quelqu’vne de celles que ie viens de resoudre. Que si la ligne qui determine ainsi le point cherché, est d’vn degré plus composée que les sections coniques, on la peut nommer, en mesme façon, vn lieu sursolide, et ainsi des autres. Et s’il manque deux conditions à la determination de ce point, le lieu où il se trouue est vne superficie, laquelle peut estre tout de mesme ou plate, ou spherique, ou plus composée. Mais le plus haut but qu’ayent eu les anciens en cete matiere a esté de paruenir à la composition des lieux solides : Et il semble que tout ce qu’
Quelle est la premiere et la plus simple de toutes les lignes courbes qui seruent en la question des anciens quand elle est proposée en cinq lignes.De plus on voit icy que ce que iay pris pour le premier genre des lignes courbes, n’en peut comprendre aucunes autres que le cercle, la parabole, l’hyperbole, et l’ellipse., qui est tout ce que i’auois entrepris de prouuer.
Que si la question des anciens est proposée en cinq lignes, qui soient toutes paralleles ; il est euident que le point cherché sera tousiours en vne ligne droite. AT VI, 408
Mais si elle est proposée en cinq lignes, dont il y en ait quatre qui soient paralleles, et que la cinquiesme les couppe à angles droits, et mesme que toutes les lignes tirées du Maire, p. 336
Image haute résolution sur Gallica point cherché les rencontrent aussy à angles droits, et enfin que le parallelepipede composé de trois des lignes ainsi tirées sur trois de celles qui sont paralleles, soit esgal au parallelepipede composé des deux lignes tirées l’vne sur la quatriesme de celles qui sont paralleles et l’autre sur celle qui les couppe à angles droits, et d’vne troisiesme ligne donnée. ce qui est ce semble le plus simple cas qu’on puisse imaginer aprés le precedent ; le point cherché sera en la ligne courbe, qui est descrite par le mouuement d’vne parabole en la façon cy dessus expliquée. 
Maire, p. 337
Image haute résolution sur Gallica Soient par exemple les lignes cherchées AB, IH, ED, GF, et GA. Et qu’on demande le point C, en sorte que tirant CB, CF, CD, CH, et CM à angles droits sur les données, le parallelepipede des trois CF, CD, et CH soit esgal à celuy des 2 autres CB, et CM, et d’vne troisiesme qui soit AI. Ie pose CB$\!\ad y$. CM $\!\ad x$. AI, ou AE, ou GE
$\!\ad a$, de façon que le point C estant entre les lignes AB, et DE, iay CF 
$\!\ad2a-y$, CD 
$\!\ad a-y$. et CH 
$\!\ad y+a$. Et multipliant ces trois l’vne par l’autre, iay 
$y^3-2ayy-aay+2a^3$ esgal au produit des trois autres qui est 
$axy$. Aprés cela ie considere la ligne courbe CEG, que i’imagine estre descrite par l’intersection, de la AT VI, 409
Parabole CKN, qu’on fait mouuoir en telle sorte que son diametre KL est tousiours sur la ligne droite AB, et de la reigle GL qui tourne cependant autour du point G en telle sorte quellequ’elle passe tousiours dans le plan de cete Parabole par le point L. Et ie fais KL $\!\ad a$, et le costé droit principal, c’est à dire celuy qui se rapporte à l’aissieu de cete parabole, aussy esgal à $a$, et GA 
$\!\ad2a$, et CB ou MA$\!\ad y$, et CM ou AB $\ad x$. Puis à cause des triangles semblables GMC et CBL, GM qui est 
$2a-y$, est à MC qui est $x$, comme CB qui est $y$, est à BL qui est par consequent 
$\frac{xy}{2a-y} $. Et pource que LK est $a$, BK est 
$a-\frac{xy}{2a-y}$, ou bien 
$\frac{2aa-ay-xy}{2a-y}$. Et enfin pource que ce mesme BK estant vn segment du diametre de la Parabole, est à BC qui luy est appliquée par ordre, comme cellecy est au costé droit qui est $a$, le calcul monstre que $y^3-2ayy-aay+2a^3$, est esgal à $axy$ et par consequent Maire, p. 338
Image haute résolution sur Gallica que le point C est celuy qui estoit demandé. Et il peut estre pris en tel endroirt de la ligne CEG qu’on veuille choisir, ou aussy en son AT VI, 410
adiointe $c$EG$c$, qui se descri tit en mesme façon, excepté que le sommet de la Parabole est tourné vers l’autre costé, ou enfin en leurs contreposées NI$o$, $n$IO, qui sont descrites par l’intersection que fait la ligne GL en l’autre costé de la Parabole KN.
Or encore que les paralleles données AB, IH, ED, et GF ne fussent point esgalement distantes, et que GA ne les couppast point à angles droits, ni aussy les lignes Maire, p. 339
Image haute résolution sur Gallica tirées du point C vers elles, ce point C ne laisseroit pas de se trouuer tousiours en vne ligne courbe, qui seroit de cete mesme nature. Et il s’y peut aussy trouuer quelquefois, encore qu’aucune des lignes données ne soient paralleles. Mais si lorsqu’il y en a 4 ainsi paralleles, et vne cinquiesme qui les trauerse : et que le parallelepipede de trois des lignes tirées du point cherché, l’vne sur cete cinquiesme, et les 2 autres sur 2 de celles qui sont paralleles ; soit esgal à celuy, des deux tirées sur les deux autres paralleles, et d’vne autre ligne donnée. Ce point cherché est en vne ligne courbe d’vne autre nature, à sçauoir en vne qui est telle, que toutes les lignes droites appliquées par AT VI, 411
ordre à son diametre estant esgales à celles d’vne section conique, les segmens de ce diametre, qui sont entre le sommet et ces lignes, ont mesme proportion à vne certaine ligne donnée, que cete ligne donnée a aux segmens du diametre de la section conique, ausquels les pareilles lignes sont appliquées par ordre. Et ie ne sçaurois veritablement dire que cete ligne soit moins simple que la precedente, laquelle iay creu toutefois deuoir prendre pour la premiere, à cause que la description, et le calcul en sont en quelque façon plus faciles.
Pour les lignes qui seruent aux autres cas, ie ne m’aresteray point à les distinguer par especes. car ie n’ay pas entrepris de dire tout ; et ayant expliqué la façon de trouuer vne infinité de poins par où elles passent, ie pense auoir assés donné le moyen de les descrire.
Quelles sont les lignes courbes qu’on descrit en trouuant plusieurs de leurs poins, qui peuuent estre receues en Geometrie.Mesme il est à propos de remarquer, qu’il y a grande difference entre cete façon de trouuer plusieurs poins Maire, p. 340
Image haute résolution sur Gallica pour tracer vne ligne courbe, et celle dont on se sert pour la spirale et ses semblables. car par cete derniere on ne trouue pas indifferẽment tous les poins de la ligne qu’on cherche, mais seulement ceux qui peuuent estre déterminés par quelque mesure plus simple, que celle qui est requise pour la composer, et ainsi à proprement parler on ne trouue pas vn de ses poins. c’est à dire pas vn de ceux qui luy sont tellement propres, qu’ils ne puissent estre trouués que par elle : Au lieu qu’il n’y a aucun point dans les lignes qui seruent à la question proposée, qui ne se puisse rencontrer entre ceux qui se determinent par la AT VI, 412
façon tantost expliquée. Et pource que cete façon de tracer une ligne courbe, en trouuant indifferẽment plusieurs de ses poins, ne s’estend qu’a celles qui peuuent aussy estre descrites par vn mouuement regulier et continu, on ne la doit pas entierement reietter de la Geometrie.
Quelles sont aussy celles qu’on descrit auec vne chorde, qui peuuent y estre receues.Et on n’en doit pas reietter non plus, celle où on se sert d’vn fil, ou d’vne chorde repliée, pour determiner l’egalité ou la difference de deux ou plusieurs lignes droites qui peuuent estre tirées de chasque point de la courbe qu’on cherche, à certains autres poins, ou sur certaines autres lignes à certains angles. ainsi que nous auons fait en la Dioptrique pour expliquer l’Ellipse et l’Hyperbole. car encore qu’on n’y puisse reçeuoir aucunes lignes qui semblent à des chordes, c’est à dire qui deuienent tantost droites et tantost courbes, à cause que la proportion, qui est entre les droites et les courbes, n’estant pas connuë, et mesme ie croy ne le pouuant estre par les hommes, on ne pourroit rien conclure de là qui Maire, p. 341
Image haute résolution sur Gallica fust exact et assuré. Toutefois à cause qu’on ne se sert de chordes en ces constructions, que pour déterminer des lignes droites, dont on connoist parfaitement la longeur, cela ne doit point faire qu’on les reiette.
Que pour trouuer toutes les proprietés des lignes courbes, il suffist de scauoir le rapport qu’ont tous leurs poins à ceux des lignes droites, et la facon de tirer d’autres lignes qui les couppent en tous ces poins à angles droits.Or de cela seul qu’on sçait le rapport, qu’ont tous les poins d’vne ligne courbe à tous ceux d’vne ligne droite, en la façon que iay expliquée ; il est aysé de trouuer aussy le rapport qu’ils ont à tous les autres poins, et lignes données : et en suite de connoistre les diametres, les aissieux, les centres, et autres lignes, AT VI, 413
ou poins, à qui chasque ligne courbe aura quelque rapport plus particulier, ou plus simple, qu’aux autres : et ainsi d’imaginer diuers moyens pour les descrire, et d’en choisir les plus faciles. Et mesme on peut aussy par cela seul trouuer quasi tout ce qui peut estre determiné touchant la grandeur de l’espace quellesqu’elles comprenent, sans qu’il soit besoin que i’en donne plus d’ouuerture. Et enfin pour ce qui est de toutes les autres proprietés qu’on peut attribuer aux lignes courbes, elles ne dependent que de la grandeur des angles qu’elles font auec quelques autres lignes. Mais lorsqu’on peut tirer des lignes droites qui les couppent à angles droits, aux poins où elles sont rencontrées par celles auec qui elles font les angles qu’on veut mesurer, ou, ce que ie prens icy pour le mesme, qui couppent leurs contingentes ; la grandeur de ces angles n’est pas plus malaysée à trouuer, que s’ils estoient compris entre deux lignes droites. C’est pourquoy ie croyray auoir mis icy tout ce qui est requis pour les elemens des lignes courbes, lorsque i’auray generalement donné la façon de tirer des lignes droites, qui tombent à angles droits sur Maire, p. 342
Image haute résolution sur Gallica tels de leurs poins qu’on voudra choisir. Et i’ose dire que c’est cecy le problesme le plus vtile, et le plus general non seulement que ie sçache, mais mesme que i’aye iamais desiré de sçauoir en Geometrie.
Facon generale pour trouuer des lignes droites, qui couppent les courbes données, ou leurs contingentes, à angles droits. 
Soit CE la ligne courbe, et qu’il faille tirer vne ligne droite par le point C, qui face auec elle des angles droits. Ie suppose la chose desia faite, et que la ligne cherchée est CP, laquelle ie prolonge iusques AT VI, 414
au point P, où elle rencontre la ligne droite GA, que ie suppose estre celle aux poins de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne CE : en sorte que faisant MA ou CB $\!\!\ad y$ et CM, ou BA $\!\!\ad x$, iay quelque equation, qui explique le rapport, qui est entre $x$ et $y$. Puis ie fais PC 
$\!\!\ad s$, et PA 
$\!\!\ad v$, ou PM 
$\!\!\ad v-y$, et à cause du triangle rectangle PMC iay 
$ss$, qui est le quarré de la baze esgal à 
$xx+vv-2vy+yy$, qui sont les quarrés des deux costés. c’est à dire iay 
$x\ad\sqrt{ss-vv+2vy-yy}$, ou bien 
$y\ad v+\sqrt{ss-xx}$, et par le moyen de cete equation, i’oste de l’autre equation qui m’explique le rapport qu’ont tous les poins de la courbe CE à ceux de la droite GA, l’vne des deux quantités indeterminées $x$ ou $y$. ce qui est aysé à faire en mettant partout 
$\sqrt{ss-vv+2vy-yy}$ au lieu d’$x$, et le quarré de cete somme au lieu d’
$xx$, et son cube au lieu d’
$x^3$, et ainsi des autres, si c’est $x$ que ie veuille oster ; oubien Maire, p. 343
Image haute résolution sur Gallica si c’est $y$, en mettant en son lieu 
$v+\sqrt{ss-xx}$, et le quarré, ou le cube, etc. de cete somme, au lieu d’
$yy$ ou 
$y^3$, etc. De façon qu’il reste tousiours aprés cela vne equation, en laquelle il n’y a plus qu’vne seule quantité indeterminée, $x$, ou $y$.
Exemple de cete operation en vne Ellipse : Et en vne parabole du second genreComme si CE est vne Ellipse, et que MA soit le segment de son diametre, auquel CM soit appliquée par ordre, et qui ait 
$r$ pour son costé droit, et 
$q$ pour le AT VI, 415
trauersant, on à par le 13 th. du I liu. d’
$xx=ry-\frac{r}{q}\,yy$
, d’ou ostant $xx$, il reste 
$ss-vv+2vy-yy\ad ry-\frac{r}{q}\,yy$ ou bien, 
$yy+\frac{qry-2qvy+qvv-qss}{q-r}$ esgal à rien. car il est mieux en cet endroit de considerer ainsi ensemble toute la somme, que d’en faire vne partie esgale à l’autre.
Tout de mesme si CE est la ligne courbe descrite par le mouuement d’vne Parabole en la façon cy dessus expliquée, et qu’on ait posé $b$ pour GA, $c$ pour KL et 
$d$ pour le costé droit du diametre KL en la parabole : l’equatiõ qui explique le rapport Maire, p. 344
Image haute résolution sur Gallica qui est entre $x$ et $y$, est 
$y^3-byy-cdy+bcd+dxy\ad0$ d’où ostant $x$, on a 
$y^3-byy-cdy+bcd+dy\sqrt{ss-vv+2vy-yy}$. Et remetrtant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient 
$y^6-2by^5$ $$+(-2cd+bb+dd)y^4+(4bcd-2ddv)y^3$$ $$+(-2bbcd+ccdd-ddss+ddvv)yy-2bccddy$$ $$+bbccdd\ad0$$. Et ainsi des autres.
AT VI, 416
Mesme encore que les poins de la ligne courbe ne se rapportassent pas en la façon que iay ditte à ceux d’vne ligne droite, mais en toute autre qu’on sçauroit imaginer, on ne laisse pas de pouuoir tousiours auoir vne telle equation. Comme si CE est vne ligne, qui ait tel rapport aux trois poins F, G, et A, que les lignes droites tirées de chascun de ses poins comme C, iusques au point F, surpassent la ligne FA d’vne quantité, qui ait certaine proportiõ donnée à vne autre quantité dont GA surpasse les lignes tirées des mesmes poins iusques à G. Faisons GA 
$\!\ad b$, AF 
$\!\ad c$, et prenant à discretion le point C dans la courbe, que la quantité dont CF surpasse FA, soit à celle dont GA surpasse GC, comme $d$ à 
$e$, en sorte que si cete quantité qui est indeterminée se nomme $z$, FC est 
$c+z$, et GC est 
$b-\frac{e}{d}z$. Puis posant MA$\ad y$, GM est 
$b-y$, et FM est 
$c+y$, et à cause du triangle rectangle CMG, ostant le quarré Maire, p. 345
Image haute résolution sur Gallica de GM du quarré de GC, on a le quarré de CM, qui est 
$\frac{ee}{dd}\,zz-\frac{2be}{d}\,z+2by-yy$. puis ostant le quarré de FM du quarré de FC, on a encore le quarré de CM en d’autres termes, à sçauoir 
$zz+2cz-2cy-yy$, et ces termes estant esgaux aux precedens, ils font connoistre $y$, ou MA, qui est 
$\frac{ddzz+2cddz-cczz+2bdez}{2bbd+2ccd}$ et substituant cete somme au lieu d’$y$ dans le quarré AT VI, 417
de CM, on trouue qu’il s’exprime en ces termes 
$$\frac{bddzz+ceezz+2bcddz-2bcdez}{bdd+cdd}-yy$$.
Puis supposant que la ligne droite PC rencontre la courbe à angles droits au point C, et faisant PC $\!\ad s$, et PA $\!\ad v$ comme deuant, PM est 
$v-y$ ; et à cause du triangle rectangle PCM, on à 
$ss-vv+2vy-yy$ pour le quarré de CM, ou derechef ayant au lieu d’$y$ substitué la somme qui luy est esgale, il vient 
$zz+\frac{2bcddz-2bcdez-2cddvz-2bdevz-bddss+bddvv-cddss+cddvv} {bdd+cee+eev-ddv}$ $\ad0$ pour l’equation que nous cherchions.
Or aprés qu’on à trouué vne telle equation, au lieu de s’en seruir pour connoistre les quantités $x$, ou $y$, ou $z$, qui sont desia données, puisque le point C est donné, on la doit employer à trouuer 
$v$ ou 
$s$, qui determinent le point P, qui est demandé. Et à cet effect il faut considerer, que si ce point P est tel qu’on le desire, le cercle dont il sera le centre, et qui passera par le point C, y touchera la ligne courbe CE, sans la coupper ; mais que si ce point P, est tant soit peu plus proche, ou plus esloigné du point Maire, p. 346
Image haute résolution sur Gallica A, qu’il ne doit, ce cercle couppera la courbe, non seulement au point C, mais aussy necessairement en quelque autre. Puis il faut aussy considerer, que lorsque ce cercle couppe la ligne courbe CE, l’equation par laquelle on cherche la quantité $x$, ou $y$, ou quelque autre semblable, en supposant PA et PC estre connuës, contient necessairement deux racines, qui sont inesgales. Car par exemple si ce cercle AT VI, 418
couppe la courbe aux poins C et E, ayant tiré EQ parallele à CM, les noms des quantités indeterminées $x$ et $y$, conuiendront aussy bien aux lignes EQ, et QA, qu’a CM, et MA ; puis PE est esgale à PC, à cause du cercle, si bien que cherchant les lignes 
EQ et QA, par PE et PA qu’on suppose comme données, on aura la mesme equation, que si on cherchoit CM et MA par PC, PA. d’où il suit euidemment, que la valeur d’$x$, ou d’$y$, ou de telle autre quantité qu’on aura supposee, sera double en cete equation, c’est à dire qu’il y aura deux racines inesgales entre elles ; et dont l’vne sera CM, l’autre EQ, si c’est $x$ qu’on cherche ; ou bien l’vne sera MA, et l’autre QA, si c’est $y$. Et ainsi des autres. Il est vray que si le point E ne se trouue pas du mesme costé de la courbe que le point C ; il n’y aura que l’vne de ces deux racines qui soit vraye, et l’autre sera renuersée, ou moindre que rien : mais plus ces deux poins, C, et E, sont proches l’vn de l’autre, moins il y a de difference entre ces deux racines ; Maire, p. 347
Image haute résolution sur Gallica et enfin elles sont entierement esgales, s’ils sont tous deux ioins en vn ; c’est à dire si le cercle, qui passe par C, y touche la courbe CE sans la coupper.
De plus il faut considerer, que lorsqu’il y a deux racines esgales en vne equation, elle a necessairement la mesme forme, que si on multiplie par soy mesme la quantité qu’on y suppose estre inconnuë moins la quantité connue qui luy est esgale, et qu’aprés cela si cete derniere somme n’a pas tant de dimensions que AT VI, 419
la precedente, on la multiplie par vne autre somme qui en ait autant qu’il luy en manque ; affin qu’il puisse y auoir separement equation entre chascun des termes de l’vne, et chascun des termes de l’autre.
Comme par exemple ie dis que la premiere equation trouuée cy dessus, à sçauoir $yy+\frac{qry-2qvy+qvv-qss}{q-r}$ doit auoir la mesme forme que celle qui se produist en faisant $e$ esgal à $y$, et multipliant 
$y-e$ par soy mesme, d’où il vient 
$yy-2ey+ee$, en sorte qu’on peut comparer separement chascun de leurs termes, et dire que puisque le premier qui est $yy$ est tout le mesme en l’vne qu’en l’autre, le second qui est en l’vne 
$\frac{qry-2qvy}{q-r}$ est esgal au secõd de l’autre qui est 
$-2ey$, d’où cherchant la quantité $v$ qui est la ligne PA, on à 
$v\ad e-\frac{r}{q}\,e+\frac{1}{2}\,r$, oubiẽ à cause que nous auons supposé $e$ esgal à $y$, on a 
$v\ad y-\frac{r}{q}\,y+\frac{1}{2}\,r$. Et Maire, p. 348
Image haute résolution sur Gallica ainsi on pourroit trouuer $s$ par le troisiesme terme
$ee\ad \frac{qvv-qss}{q-r}$ mais pource que la quantité $v$ determine assés le point P, qui est le seul que nous cherchions, on n’a pas besoin de passer outre.
AT VI, 420
Tout de mesme la seconde equation trouuée cy dessus, à sçauoir, 
$$y^6-2by^5+(-2cd+bb+dd)y^4+(4bcd-2ddv)y^3$$ $$+(-2bbcd+ccdd-ddss+ddvv)yy-2bccddy+bbccdd$$ doit auoir mesme forme, que la somme qui se produist lorsqu’on multiplie $yy-2ey+ee$ par 
$y^4+fy^3+ggyy+h^3y+k^4$, qui est 
$$y^6+(f-2e)y^5+(gg-2ef+ee)y^4+(h^3-2egg+eef)y^3$$ $$+(k^4-2eh^3+eegg)yy+(-2ek^4+eeh^3)y+eek^4:$$ de façon que de ces deux equations i’en tire six autres, qui seruent à connoistre les six quantités 
$f$, 
$g$, 
$h$, 
$k$, $v$ et $s$. D’où il est fort aysé à entendre, que de quelque genre, que puisse estre la ligne courbe proposée, il vient tousiours par cete façon de proceder autant d’equations, qu’on est obligé de supposer de quantités, qui sont inconnuës. Mais pour demesler par ordre ces equations, et trouuer enfin la quantité $v$, qui est la seule dont on a besoin, et à l’occasion de laquelle on cherche les autres : Il faut premierement par le second terme chercher $f$, la premiere des quantités inconnuës de la derniere somme, et on trouue 
$f\ad2e-2b$.
Puis par le dernier il faut chercher $k$ la derniere des quantités inconnuës de la mesme somme, et on trouue 
$k^4=\frac{bbccdd}{ee}$. Maire, p. 349
Image haute résolution sur Gallica AT VI, 421
Puis par le troisiesme terme il faut chercher $g$ la seconde quantité, et on a 
$gg\ad3ee-4be-2cd+bb+dd$. Puis par le penultiesme il faut chercher $h$ la penultiesme quantité, qui est 
$h^3\ad\frac{2bbccdd}{e^3}-\frac{2bccdd}{ee}$. Et ainsi il faudroit continuer suiuant ce mesme ordre iusques à la derniere, s’il y en auoit d’auantage en cete somme ; car c’est chose qu’on peut tousiours faire en mesme façon.
Puis par le terme qui suit en ce mesme ordre, qui est icy le quatriesme, il faut chercher la quantité $v$, et on a 
$$v=\frac{2e^3}{dd}-\frac{3bee}{dd}+\frac{bbe}{dd}-\frac{2ce}{d}+e +\frac{2bc}{d}+\frac{bcc}{ee}-\frac{bbcc}{e^3}$$ ou mettant $y$ au lieu de $e$ qui luy est esgal on a 
$$v=\frac{2y^3}{dd}-\frac{3byy}{dd}+\frac{bby}{dd}-\frac{2cy}{d}+y +\frac{2bc}{d}+\frac{bcc}{yy}-\frac{bbcc}{y^3}$$ pour la ligne AP.
Et ainsi la troisiesme equation, qui est Maire, p. 350
Image haute résolution sur Gallica 
$$zz+\frac{2bcddz-2bcdez-2cddvz-2bdevz-bddss+bddvv-cddss+cddvv}{bdd+cee+eev-ddv}$$ AT VI, 422
a la mesme forme que 
$zz-2fz+ff$, en supposant $f$ esgal à $z$, si bien que il y a derechef equation entre 
$-2f$ ou 
$-2z$, et 
$\frac{2bcdd-2bcde-2cddv-2bdev}{bdd+cee+eev-ddv}$ d’où oun connoist que la quantité $v$ est 
$\frac{bcdd-bcde+bddz+ceez}{cdd+bde-eez+ddz}$.
C’est pourquoy composant. la ligne AP, de cete somme esgale à $v$ dont toutes les quantités sont connuës, et tirant du point P ainsi trouué, vne ligne droite vers C, elle y couppe la courbe CE à angles droits. qui est ce qu’il falloit faire. Et ie ne voy rien qui empesche, qu’on n’estende ce problesme en mesme façon à toutes les lignes courbes, qui tombent sous quelque calcul Geometrique.
Mesme il est à remarquer touchant la derniere somme, qu’on prent à discretion, pour remplir le nombre des dimensions de l’autre somme, lorsqu’il y en manque, comme nous auons pris tantost $y^4+fy^3+ggyy+h^3y+k^4$ ; que les signes $+$ et $-$ y peuuent estre supposés tels, qu’on veut, sans que la ligne $v$, ou AP, se trouue diuerse pour cela, comme vous pourrés aysement voir par experience. car s’il falloit que ie m’arestasse à AT VI, 423
demonstrer tous les theoresmes dont ie Maire, p. 351
Image haute résolution sur Gallica fais quelque mention, ie serois contraint d’escrire vn volume beaucoup plus gros que ie ne desire. Mais ie veux bien en passant vous auertir que l’inuention de supposer deux equations de mesme forme, pour comparer separement tous les termes de l’vne à ceux de l’autre, et ainsi en faire naistre plusieurs d’vne seule, dont vous aués vû icy vn exemple, peut seruir à vne infinité d’autres Problesmes, et n’est pas l’vne des moindres de la methode dont ie me sers.
Ie n’adiouste point les constructions, par lesquelles on peut descrire les contingentes ou les perpendiculaires cherchées, en suite du calcul que ie viens d’expliquer, à cause qu’il est tousiours aysé de les trouuer : Bien que souuent on ait besoin d’vn peu d’adresse, pour les rendre courtes et simples.
Exemple de la construction de ce problesme, en la conchoide.Comme par exemple, si DC est la premiere conchoide 
des anciens, dont A soit le pole, et BH la regle : en sorte que toutes les lignes droites qui regardent vers A, et sont comprises entre la courbe CD, et la droite BH, comme DB et CE, soient esgales : Et qu’on veuille trouuer la ligne CG qui la couppe au point C à angles droits. On pourroit en cherchant, dans la ligne BH, le point par où cete ligne CG doit passer, selon la methode icy Maire, p. 352
Image haute résolution sur Gallica expliquée, s’engager dans vn AT VI, 424
calcul autant ou plus long qu’aucun des precedens : Et toutefois la construction, qui deuroit aprés en estre deduite, est fort simple. Car il ne faut que prendre CF en la ligne droite CA, et la faire esgale à CH qui est perpendiculaire sur HB : puis du point F tirer FG, parallele à BA, et esgale à EA : au moyen de quoy on a le point G, par lequel doit passer CG la ligne cherchée.
Explication de 4 nouueaux genres d’Ouales, qui seruent à l’Optique.Au reste affin que vous sçachiéessçachiés que la consideration des lignes courbes icy proposée n’est pas sans vsage, et qu’elles ont diuerses proprietés, qui ne cedent en rien à celles des sections coniques, ie veux encore adiouster icy l’explication de certaines Ouales, que vous verrés estre tres vtiles pour la Theorie de la Catoptrique, et de la Dioptrique. Voycy la façon dont ie les descris.
Premierement ayant tiré les lignes droites FA, et AR, qui s’entrecouppent au point A, sans qu’il importe à quels angles, ie prens en l’vne le point F à discretion, c’est à dire plus ou moins esloigné du point A selon que Maire, p. 353
Image haute résolution sur Gallica ie veux faire ces Ouales plus ou moins AT VI, 425
grandes, et de ce point F comme centre ie descris vn cercle, qui passe quelque peu au delà du point A, comme par le point 5, puis de ce point 5 ie tire la ligne droite 56, qui couppe l’autre au point 6, en sorte qu’A6 soit moindre qu’A5, selon telle proportion donnée qu’on veut, à sçauoir selon celle qui mesure les Refractions si on s’en veut seruir pour la Dioptrique. Aprés cela ie prens aussy le point G, en la ligne FA, du costé où est le point 5, à discretion, c’est à dire en faisant que les lignes AF et GA ont entre elles telle proportion donnée qu’on veut. Puis ie fais RA esgale à GA en la ligne A6. Et du centre G descriuant vn cercle, dont le rayon soit esgal à R6, il couppe l’autre cercle de part et d’autre au point 1, qui est l’vn de ceux par où doit passer la premiere des Ouales cherchées. Puis derechef du centre F ie descris vn cercle, qui passe vn peu au deça, ou au delà du point 5, comme par le point 7, et ayant tiré la ligne droite 78 parallele à 56, du centre G ie descris vn autre cercle, dont le rayon est esgal à la ligne R8. Et ce cercle couppe celuy qui passe par le point 7 au point 1, qui est encore l’vn de ceux de la mesme Ouale. Et ainsi on en peut trouuer autant d’autres qu’on voudra, en tirant derechef d’autres lignes paralleles à 78, et d’autres cercles des centres F, et G.
Pour la seconde Ouale il n’y a point de difference, sinon qu’au lieu d’AR il faut de l’autre costé du point A prendre AS esgal à AG, et que le rayon du cercle descrit du centre G, pour coupper celuy qui est descrit du centre F et qui passe par le point 5, soit AT VI, 426
esgal à la Maire, p. 354
Image haute résolution sur Gallica 
ligne S6 ; ou qu’il soit esgal à S8, si c’est pour coupper celuy qui passe par le point 7. Et ainsi des autres. au moyen de quoy ces cercles s’entrecouppent aux poins marqués 2, 2, qui sont ceux de cete seconde Ouale A2X.
Pour la troisiesme, et la quatriesme, au lieu de la ligne AG il faut prendre AH de l’autre costé du point A, à sçauoir du mesme qu’est le point F. Et il y a icy de plus à obseruer que cete ligne AH doit estre plus grande que AF : laquelle peut mesme estre nulle, en sorte que le point F se rencontre où est le point A, en la description de toutes ces ouales. Aprés cela les lignes AR, et AS estant esgales à AH, pour descrire la troisiesme ouale A3Y, ie fais vn cercle du centre H, dont le rayon est Maire, p. 355
Image haute résolution sur Gallica 
esgal à S6, qui couppe au point 3 celuy du centre F, qui passe par le point 5 ; et vn autre dont le rayon est esgal à S8, qui couppe celuy qui AT VI, 427
passe par le point 7, au point aussy marqué 3 ; et ainsi des autres. Enfin pour la derniere 
Maire, p. 356
Image haute résolution sur Gallica ouale ie fais des cercles du centre H, dont les rayons sont esgaux aux lignes R6, R8, et semblables, qui couppent les autres cercles aux poins marqués 4.
On pourroit encore trouuer vne infinité d’autres moyens pour descrire ces mesmes ouales. comme par exemple, on peut tracer la premiere AV, lorsqu’on suppose les lignes FA et AG estre esgales, si on diuise AT VI, 428
la toute FG au point L, en sorte que FL soit à LG, comme 
A5 à A6. c’est à dire qu’elles ayent la proportion, qui mesure les refractions. Puis ayant diuisé AL en deux parties esgales au point K, qu’on face tourner vne reigle, comme FE, autour du point F, en pressant du doigt C, la chorde EC, qui estant attachée au bout de cete reigle vers E, se replie de C vers K, puis de K derechef vers C, et de C vers G, ou son autre bout soit attaché, en sorte que la longeur de cete chorde soit composée de celle des lignes GA plus AL plus FE moins AF. Et ce sera le mouuement du point C, qui descrira cete ouale, à l’imitation de ce qui a esté dit en la Dioptriq; de l’Ellipse, Maire, p. 357
Image haute résolution sur Gallica et de l’Hyperbole. mais ie ne veux point m’arester plus long tems sur ce suiet.
Or encore que toutes ces ouales semblent estre quasi de mesme nature, elles sont neanmoins de 4 diuers genres, chascun desquels contient sous soy vne infinité d’autres genres, qui derechef contienent chascun autant de diuerses especes, que fait le genre des Ellipses, ou celuy des Hyperboles. Car selon que la proportion, qui est entre les lignes A5, A6, ou semblables, AT VI, 429
est differente ; le genre subalterne de ces ouales est different. Puis selon que la proportion, qui est entre les lignes AF, et AG, ou AH, est changée, les ouales de chasque genre subalterne changent d’espece. Et selon qu’AG, ou AH est plus ou moins grande, elles sont diuerses en grandeur. Et si les lignes A5 et A6 sont esgales, au lieu des ouales du premier genre ou du troisiesme, on ne descrit que des lignes droites ; mais au lieu de celles du second on a toutes les Hyperboles possibles ; et au lieu de celles du dernier toutes les Ellipses.
Les proprietés de ces ouales touchant les reflexions, et les refractions.Outre cela en chascune de ces ouales il faut considerer deux parties, qui ont diuerses proprietés ; à sçauoir en la premiere, la partie qui est vers A, fait que les rayons, qui estant dans l’air vienent du point F, se retourunent
tous vers le point G, lorsqu’ils rencontrent la superficie conuexe d’vn verre, dont la superficie est 1A1, et dans lequel les refractions se font telles, que suiuant ce qui a esté dit en la Dioptrique, elles peuuent toutes estre mesurées par la proportion, qui est entre les lignes A5 et A6, ou semblables, par l’ayde desquelles on a descrit cete ouale.
Maire, p. 358
Image haute résolution sur Gallica AT VI, 430
Mais la partie, qui est vers V, fait que les rayons qui vienent du point G se refleschiroient tous vers F, s’ils y rencontroient la superficie concaue d’vn miroir, dont la figure fust 1V1, et qui fust de telle matiere qu’il diminuast la force de ces rayons, selon la proportion qui est entre les lignes A5 et A6 : Car de ce qui a esté demonstré en la Dioptrique, il est euident que cela posé, les angles de la reflexion seroient inesgaus, aussy bien que sont ceux de la refraction, et pourroient estre mesurés en mesme sorte.
En la seconde ouale la partie 2A2 sert encore pour les reflexions dont on suppose les angles estre inesgaux. car estant en la superficie d’vn miroir composé de mesme matiere que le precedent, elle feroit tellement refleschir tous les rayons, qui viendroient du point G, qu’ils sembleroient aprés estre refleschis venir du point F. Et il est à remarquer, qu’ayant fait la ligne AG beaucoup Maire, p. 359
Image haute résolution sur Gallica plus grande que AF, ce miroir seroit conuexe au milieu, vers A, et concaue aux extremitez : car telle est la figure de cete ligne, qui en cela represente plutost vn cœur qu’vne ouale.
Mais son autre partie X2 sert pour les refractions, et fait que les rayons, qui estant dans l’air tendent vers F, se detournent vers G en trauersant la superficie d’vn verre, qui en ait la figure.
La troisiesme ouale sert toute aux refractions, et fait que les rayons, qui estant dans l’air tendent vers F, se vont rendre vers H dans le verre, aprés qu’ils ont trauersé sa superficie, dont la figure est A3Y3, qui est AT VI, 431
conuexe par tout, excepté vers A où elle est vn peu concaue, en sorte qu’elle a la figure d’vn cœur aussy bien que la precedente. Et la difference qui est entre les deux parties de cete ouale, consiste en ce que le point F est plus proche de l’vne, que n’est le point H ; et qu’il est plus esloigné de l’autre, que ce mesme point H.
En mesme façon la derniere ouale sert toute aux reflexions, et fait que si les rayons, qui vienent du point H, rencontroient la superficie concaue d’vn miroir de mesme matiere que les precedens, et dont la figure fust A4Z4, ils se refleschiroient tous vers F.
De façon qu’on peut nommer les poins F, et G, ou H les poins bruslans de ces ouales, à l’exemple de ceux des Ellipses, et des Hyperboles, qui ont esté ainsi nommés en la Dioptrique.
Demonstration des proprietés de ces ouales touchant les reflexions et refractions.I’omets quantité d’autres refractions, et reflexions, qui sont reiglées par ces mesmes ouales : car n’estant que les conuerses, ou les contraires de celles cy, elles en Maire, p. 360
Image haute résolution sur Gallica peuuent facilement estre desduites. Mais il ne faut pas que i’omette la demonstration de ce que iay dit. Et à cet effect, prenons par exemple le point C à discretion en la premiere partie de la premiere de ces ouales ; puis tirons la ligne droite CP, qui couppe la courbe au point C à angles droits, ce qui est facile par le problesme precedent ; Car prenant $b$ pour AG, AT VI, 432
$c$ pour AF, $c+z$ pour FC ; et supposant que la proportion qui est entre $d$ et $e$, que ie prendray icy tousiours pour celle qui mesure les refractions du verre proposé, designe aussy celle qui est entre les lignes A5, et A6, ou semblables, qui ont serui pour descrire cete ouale, ce qui donne $b-\frac{e}{d}\,z$ pour GC : on trouue que la ligne AP est 
$\frac{bcdd-bcde+bddz+ceez}{bde+cdd+ddz-eez}$ ainsi qu’il a esté monstré cy dessus. De plus du point P ayant tiré PQ à angles droits sur la droite FC, et PN aussy à angles droits sur GC, considerons que si PQ est à PN, comme $d$ est à $e$, c’est à dire, comme les lignes qui mesurent les refractions du verre conuexe AC, le rayon qui vient du point F au point C, doit tellement s’y courber en entrant dans ce verre, qu’il s’aille rendre aprés vers G : ainsi qu’il est tres euident de ce qui a esté dit en la Dioptrique. Puis enfin voyons par le calcul, s’il est vray, que PQ soit à PN ; comme $d$ est à $e$. Les triangles rectangles PQF, et CMF sont semblables ; Maire, p. 361
Image haute résolution sur Gallica d’où il suit que CF est à CM, comme FP est à PQ ; et par consequent que FP, estant multipliée par CM, et diuisée par CF, est esgale à PQ. Tout de mesme les triangles rectangles PNG, et CMG sont semblables ; d’où il suit que GP, multipliée par CM, et diuisée par CG, est esgale à PN. Puis à cause que les multiplications, ou diuisions, qui se font de deux quantités par vne mesme, ne changent point la AT VI, 433
proportion qui est entre elles ; si FP multipliée par CM ; et diuisée par CF, est à GP multipliée aussy par CM et diuisée par CG ; comme $d$ est à $e$, en diuisant l’vne et l’autre de ces deux sommes par CM, puis les multipliant toutes deux par CF, et derechef par CG, il reste FP multipliée par CG, qui doit estre à GP multipliée par CF, comme $d$ est à $e$. Or par la construction FP est 
$c+\frac{bcdd-bcde+bddz+ceez} {bde+cdd+ddz-eez}$. ou bien FP 
$\!\!\ad\frac{bcdd+ccdd+bddz+cddz}{bde+cdd+ddz-eez}$. Et CG est $b-\frac{e}{d}\,z$ si bien que multipliant FP par CG il vient 
$$\frac{bbcdd+bccdd+bbddz+bcddz-bcdez-ccdez-bdezz-cdezz} {bde+cdd+ddz-eez}$$ ;
Puis GP est 
$b+\frac{-bcdd+bcde-bddz-ceez}{bde+cdd+ddz-eez}$, ou bien 
$\!\!\ad\frac{bbde+bcde-beez-ceez}{bde+cdd+ddz-eez}$, et CF est $c+z$ ; si bien que multipliant GP par CF, il vient 
$$\frac{bbcde+bccde-bceez-cceez+bbdez+bcdez-beezz-ceezz}{bde+cdd+ddz-eez}$$ . Et pource que la premiere de ces sommes diuisée par $d$, est la mesme que la seconde diuisée par $e$, il est manifeste, que FP multipliée par CG est à GP multipliée par CF ; Maire, p. 362
Image haute résolution sur Gallica c’est à dire que PQ est à PN, comme $d$ est à $e$, qui est tout ce qu’il falloit demonstrer.
Et sçachés, que cete mesme demonstration s’estend à tout ce qui a esté dit des autres refractions ou reflexions, qui se font dans les ouales proposées ; sans AT VI, 434
qu’il y faille changer aucune chose, que les signes $+$ et $-$ du calcul. c’est pourquoy chascun les peut aysement examiner de soymesme, sans qu’il soit besoin que ie m’y areste.
Mais il faut maintenent, que ie satisface à ce que iay omis en la Dioptrique, lorsqu’aprés auoir remarqué, qu’il peut y auoir des verres de plusieurs diuerses figures, qui facent aussy bien l’vn que l’autre, que les rayons venans d’vn mesme point de l’obiet s’assemblent tous en vn autre point aprés les auoir trauersés. Et qu’entre ces verres, ceux qui sont fort conuexes d’un costé, et concaues de l’autre, ont plus de force pour brusler, que ceux qui sont esgalement conuexes des deux costés. au lieu que tout au contraire ces derniers sont les meilleurs pour les lunettes. ie me suis contente d’expliquer ceux, que i’ay crû estre les meilleurs pour la prattique, en supposant la difficulté que les artisans peuuent auoir à les tailler. C’est pourquoy, affin qu’il ne reste rien à souhaiter touchant la theorie de cete science, ie doy expliquer encore icy la figure des verres, qui ayant l’vne de leurs superficies autant conuexe, ou concaue, qu’on voudra, ne laissent pas de faire que tous les rayons, qui vienent vers eux d’vn mesme point, ou paralleles, s’assemblent aprés en vn mesme point ; et celle des verres qui font le semblable, estant esgalement conuexes des deux costés, ou bien la Maire, p. 363
Image haute résolution sur Gallica conuexité de l’vne de leurs superficies ayant la proportion donnée à celle de l’autre.
Commẽt on peut faire vn verre autant conuexe ou concaue, en l’vne de ses superficies, qu’on voudra, qui rassemble à vn point donné, tous les rayons qui vienent d’vn autre point donné.
Posons pour le premier cas, que les poins G, Y, C, et F estant donnés, les rayons qui vienent du point G, ou bien qui sont paralleles à GA se doiuent assembler AT VI, 435
au point F, aprés auoir trauersé vn verre si concaue, qu’Y estant le milieu de sa superficie interieure, l’extremité en soit au point C, en sorte que la chorde CMC, et la fleche YM de l’arc CYC, sont données. La question va là, que premierement il faut considerer, de laquelle des ouales expliquées, la superficie du verre YC, doit auoir la figure, pour faire que tous les rayons, qui estant dedans tendent vers vn mesme point, comme vers H, qui n’est pas encore connu, s’aillent rendre vers vn autre, à sçauoir vers F, aprés en estre sortis. Car il n’y a aucun effect touchant le rapport des rayons changé par reflexion, ou refraction d’vn point à vn autre, qui ne puisse estre causé par quelqu’vne de ces ouales. Et on voit aysement que cetuy cy le peut estre par la partie de la troisiesme Ouale, qui a tantost esté marquée 3A3, ou par celle de la mesme, qui a esté marquée 3Y3, ou enfin par la partie de la seconde qui a esté marquée 2X2. Et pource que ces trois tombent icy sous mesme calcul, on doit tant pour l’vne, que pour l’autre prendre Y pour Maire, p. 364
Image haute résolution sur Gallica leur sommet, C pour l’vn des poins de leur circonference, et F pour l’vn de leurs poins bruslans ; aprés quoy il ne reste plus à chercher que le point H, qui doit estre l’autre point bruslant. Et on le trouue en considerant, que la difference, qui est entre les lignes FY et FC, doit estre à celle, qui est entre les lignes HY AT VI, 436
et HC, comme $d$ est à $e$, c’est à dire, comme la plus grande des lignes qui mesurent les refractions du verre proposé est à la moindre ; ainsi qu’on peut voir manifestement de la description de ces ouales. Et pource que les lignes FY et FC sont données, leur difference l’est aussy, et en suite celle qui est entre HY et HC ; pource que la proportion qui est entre ces deux differences est donnée. Et de plus à cause que YM est donnée, la difference qui est entre MH, et HC, l’est aussy ; et enfin pource que CM est donnée, il ne reste plus qu’à trouuer MH le costé du triangle 
rectangle CMH, dont on a l’autre costé CM, et on a aussy la difference qui est entre CH la baze, et MH le costé demandé. d’où il est aysé de le trouuer. car si on prent $k$ pour l’excés de CH sur MH, et $n$ pour la longeur de la ligne CM, on aura 
$\frac{nn}{2k}-\frac{1}{2}\,k$ pour MH. Et aprés auoir ainsi le point H, s’il se trounue plus loin du point Y, Maire, p. 365
Image haute résolution sur Gallica que n’en est le point F, la ligne CY doit estre la premiere partie de l’ouale du troisiesme genre, qui a tantost esté nommée 3A3 : Mais si HY est moindre que FY, ou bien elle surpasse HF de tant, que leur difference est plus grande à raison de la toute FY, que n’est $e$ la moindre des lignes qui mesurent les refractions comparée auec $d$ la plus grande, c’est à dire que faisant HF $\!\!\ad c$, et HY 
$\!\!\ad c+h$, 
$dh$ est plus grande que 
$2ce+eh$, et lors CY doit estre la AT VI, 437
seconde partie de la mesme ouale du troisiesme genre, qui a tantost esté nomée 3Y3 ; Ou bien $dh$ est esgale, ou moindre que $2ce+eh$ : et lors CY doit estre la seconde partie de l’ouale du second genre qui a cy dessus esté nommée 2X2. Et enfin si le point H est le mesme que le point F, ce qui n’arriue que lorsque FY et FC sont esgales cete ligne YC est vn cercle.
Aprés cela il faut chercher CAC l’autre superficie de ce verre, qui doit estre vne Ellipse, dont H soit le point bruslant, si on suppose que les rayons qui tombent dessus soiẽt paralleles ; et lors il est aysé de la trouuer. Mais si on suppose qu’ils vienẽt du point G, ce doit estre la premiere partie d’vne ouale du premier genre, dont les deux poins bruslans soiẽt G et H, et qui passe par le point C : d’où on trouue le point A pour le sommet de cete ouale, en considérãt, que GC doit estre plus grãde que GA, d’vne quantité, qui soit à celle dont HA surpasse HC, comme $d$ à $e$. car ayant pris $k$ pour la difference qui est entre CH, et HM, si on suppose $x$ pour AM, on aura 
$x-k$, pour la difference qui est entre AH, et CH ; puis si on prent$g$ pour celle, qui est entre GC, et GM, qui sont données, on aura 
$g+x$ pour celle, qui est entre GC, et GA ; et Maire, p. 366
Image haute résolution sur Gallica pource que cete derniere $g+x$ est à l’autre $x-k$, comme $d$ est à $e$, on a 
$ge+ex\ad dx-dk$, ou bien 
$\frac{ge+dk}{d-e}$ pour la ligne $x$, ou AM, par laquelle on determine le point A qui estoit cherché.
Commẽt on peut faire vn verre, qui ait le mesme effect que le precedẽt, et que la conuexité de l’vne de ses superficies ait la proportion donnée auec celle de l’autre.Posons maintenent pour l’autre cas, qu’on ne donne que les poins GC, et F, auec la proportion qui est AT VI, 438
entre les lignes AM, et YM, et qu’il faille trouuer la figure du verre ACY, qui face que tous les rayons, qui vienent du point G s’assemblent au point F.
On peut derechef icy se seruir de deux ouales dont l’vne, AC, ait G et H pour ses poins bruslans ; et l’autre, CY, ait F et H pour les siens. Et pour les trouuer, premierement supposant le point H qui est commun à toutes deux estre connu, ie cherche AM par les trois poins G, C, H, en la façon tout maintenent expliquée ; à sçauoir preunant $k$ pour la difference, qui est entre CH, et HM ; et $g$ pour celle qui est entre GC, et GM : et AC estant la premiere partie de l’Ouale du premier genre, iay $\frac{ge+dk}{d-e}$ pour AM : puis ie cherche aussy MY par les trois poins F, C, H, en sorte que CY soit la premiere partie d’vne ouale du troisiesme genre ; et prenant $y$ pour MY, Maire, p. 367
Image haute résolution sur Gallica et $f$ pour la difference, qui est entre CF, et FM, i’ay 
$f+y$, pour celle qui est entre CF, et FY : puis ayant desia $k$ pour celle qui est entre CH, et HM, iay 
$k+y$ pour celle qui est entre CH, et HY, que ie scay deuoir estre à $f+y$ comme $e$ est à $d$, à cause de l’Ouale du troisiesme genre, d’où ie trouue que $y$ ou MY est 
$\frac{fe-dk}{d-e}$, puis ioignant ensemble les deux quantités trouuées pour AM, et MY, ie trouue 
$\frac{ge+fe}{d-e}$ pour la toute AY ; D’où il suit que de quelque costé que soit supposé le point H, cete ligne AY est tousiours AT VI, 439
composée d’vne quantité, qui est à celle dont les deux ensemble GC, et CF surpassent la toute GF, comme $e$, la moindre des deux lignes qui seruent à mesurer les refractions du verre proposé, est à 
$d-e$, la difference qui est entre ces deux lignes. ce qui est vn assés beau theoresme. Or ayant ainsi la toute AY, il la faut couper selon la proportion que doiuent auoir ses parties AM et MY ; au moyen de quoy pource qu’on a desia le point M, on trouue aussy les poins A et Y ; et en suite le point H, par le problesme precedent. Mais auparauant il faut regarder, si la ligne AM ainsi trouuée est plus grande que 
$\frac{ge}{d-e}$, ou plus petite, ou esgale. Car si elle est plus grande, on apprent de là que la courbe AC doit estre la premiere partie d’vne ouale du premier genre ; et CY la premiere d’vne du troisiesme, ainsi qu’elles ont esté icy supposées : au lieu que si elle est plus petite, cela monstre que c’est CY, qui doit estre la premiere partie d’vne ouale du premier genre ; et que AC doit estre la premiere d’vne du troisiesme : Enfin si AM est esgale à Maire, p. 368
Image haute résolution sur Gallica $\frac{ge}{d-e}$, les deux courbes AC et CY doiuent estre deux hyperboles.
On pourroit estendre ces deux problesmes à vne infinité d’autres cas, que ie ne m’areste pas à deduire, à cause qu’ils n’ont eu aucun vsage en la Dioptrique.
On pourroit aussy passer outre, et dire, lorsque l’vne des superficies du verre est donnée, pouruû qu’elle ne soit que toute plate, ou composée de sections coniques, ou de cercles ; comment on doit faire son autre superficie, affin qu’il transmette tous les rayons d’vn point donné, à vn autre point aussy donné. car ce n’est rien AT VI, 440
de plus difficile que ce que ie viens d’expliquer ; ou plutost c’est chose beaucoup plus facile, à cause que le chemin en est ouuert. Mais i’ayme mieux, que d’autres le cherchent, affinque s’ils ont encore vn peu de peine à le trouuer, cela leur face d’autant plus estimer l’inuention des choses qui sont icy demonstrées.
Commẽt on peut appliquer ce qui a esté dit icy des lignes courbes descrites sur vne superficie plate, à celles qui se descriuẽt dãs vn espace qui a trois dimensions.Au reste ie n’ay parlé en tout cecy, que des lignes courbes, qu’on peut descrire sur vne superficie plate ; mais il est aysé de rapporter ce que i’en ay dit, à toutes celles qu’on sçauroit imaginer estre formées, par le mouuement regulier des poins de quelque cors, dans vn espace qui a trois dimensions. À sçauoir en tirant deux perpendiculaires, de chascun des poins de la ligne courbe qu’on veut considerer, sur deux plans qui s’entrecouppent à angles droits, l’vne sur l’vn, et l’autre sur l’autre. car les extremités de ces perpendiculaires descriuent deux autres lignes courbes, vne sur chascun de ces plans ; desquelles on peut, en la façon cy dessus expliquée, determiner tous Maire, p. 369
Image haute résolution sur Gallica les poins, et les rapporter à ceux de la ligne droite, qui est commune à ces deux plans, au moyen de quoy ceux de la courbe, qui a trois dimensions, sont entierement determinés. Mesme si on veut tirer vne ligne droite, qui couppe cete courbe au point donné à angles droits : il faut seulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, vne en chascun, qui couppent à angles droits les deux lignes courbes, qui y sont, aux deux poins, où tombent les perpendiculaires qui vienent de ce point donné. car ayant esleué deux autres plans, vn sur chascune de ces lignes droites, qui couppe à angles droits le plan où elle est, on aura l’intersection de ces deux AT VI, 441
plans pour la ligne droite cherchée. Et ainsi ie pense n’auoir rien omis des elemens, qui sont necessaires pour la connoissance des lignes courbes.